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博弈案例（3）
3．骑虎难下博弈与美苏武器竞赛
我们经常碰到的一类博弈是，行动者进也不是，退也不是。笔者将这样的博弈称为骑虎难下博弈。
有一个拍卖，其规则是：两个参与人轮流出价，谁出得最高，谁就将得到该物品，但是出价少的人不仅得不到该物品，并且要按他所叫的价付给拍卖方。
假定有两人竞价争夺价值100元的物品，只要双方开始叫价，在这个博弈中双方就进入了骑虎难下的状态。因为，每个人都这样想，如果我退出，我将失去我出的钱，若不退出，我将有可能得到这价值100元的物品，但是，随着出价的增加，他可能的损失也越大。每个人面临着两难：是继续叫价还是退出？
这个博弈为耶鲁大学的舒比克教授构造出来的。
你会说，这个拍卖的规则不合理，纯粹是博弈论专家的构想，在实际中这样的拍卖不会出现。然而，它尽管只是一个模型，在实际中我们经常会看到此模型的博弈案例。3
在冷战期间，美苏为争夺霸权拼命发展武器，无论是原子弹、氢弹等核武器的研制，还是如隐形战斗机这样的常规武器的研制，双方均不甘落后。20世纪80年代，里根在位时准备启动“星球大战”计划，此举意味着两个超级大国的武器竞赛将进一步升级。美苏之间的武器竞赛就相当于这个骑虎难下博弈中双方轮番出价，双方均不断出更高的价，如果一方没有出最高的价钱，退了下来，即没有继续竞赛下去，那么意味着它在军备上的前期投入没有效果，打了水漂，而对方将赢得整个局面。但如果继续竞赛下去，一旦支撑不住，损失也就更大。
1991年苏联的垮台在一定程度上是军备竞赛的结果。苏联将整个力量放在军备竞赛上，而民用建设无法跟上，国力不济，最终退下阵来。里根的“星球大战”计划其目的就是要拖垮苏联。一旦进入骑虎难下的博弈，及早退出是明智之举，然而当局者往往做不到，这就是所谓当局者迷。这种骑虎难下的博弈经常出现在国家之间，也出现在企业或组织之间，当然个人之间也经常碰到。20世纪60年代，美国介入越南就是一个骑虎难下博弈。赌红了眼的赌徒输了钱还要继续赌下去以希望返本，也是骑虎难下博弈，其实，赌徒进入赌场开始赌博时，他已经进入了骑虎难下的状态，因为，赌场从概率上讲必定赢。4
博弈论专家将这里的骑虎难下博弈称为协和谬误。20世纪60年代，英国和法国政府联合投资开发大型超音速客机，即协和飞机。该种飞机机身大、设计豪华并且速度快。但是，英法政府发现：若继续投资开发这样的机型，花费会急剧增加，并且还不清楚这样的设计定位能否适应市场；而若停止研制，以前的投资将付诸东流。随着研制工作的深入，他们更是无法作出停止研制工作的决定。协和飞机最终研制成功，但因飞机的缺陷（如耗油大、噪音大、污染严重等等），它不适合市场，最终被市场淘汰，英法政府为此蒙受很大的损失。在这个研制过程中，如果英法政府能及早放弃飞机的开发工作，会使损失减少，但他们没能做到。
4．警察与小偷的故事——混合策略问题
纳什在《n人博弈的均衡点》这篇论文中，给出了均衡存在的简单证明，纳什说，在n个人的博弈中至少存在一个均衡，在这点上双方均不愿意先改变策略。这里的均衡点有可能是混合策略点。人们称它为纳什定理。
什么是混合策略？
我们来看一个混合策略的例子。警察部门负责一城市中某一区的治安。警察要对该区的A、B两地进行巡逻。假定该区有一群小偷，要实施偷盗。警察要防止这些小偷的偷盗，但因为设备有限，只有一部警车，警察只能一次在一个地方巡逻。而对于小偷而言，他们也只能去一个地方。假定A地需要保护的财产价值为2万元，B地的财产价值为1万元。若警察在某地进行巡逻，而小偷也选择了去该地，因警察在场，小偷无法偷盗该地的财物；若警察没有去某地巡逻而小偷选择了去该地，则小偷偷盗成功。警察怎么巡逻才能使效果最好？
一个明显的做法是，警察对A地进行巡逻，小偷去B地，这样，警察可以保住2万元的财产不被偷窃，而小偷的稳定收益为1万元。但是这种做法是警察的最好做法吗？警察有没有比这种策略更好的策略？
我们可以将警察与小偷之间的这个支付写成如下的支付矩阵。警察巡逻某地，偷盗者在该地无法实施偷盗，假定此时小偷的得益为0（没有收益），此时警察的得益为3（保住3万元）。
这个博弈也是常和博弈，它没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与人的最优（混合）策略选择。
小偷（1）
警察
袭击A地
袭击B地
巡逻A地
3，0
2，1
巡逻B地
1，2
3，0 对于这个例子，警察的一个更好的策略是，警察用掷骰子的方法决定去A地还是B地。假定警察规定掷到1—4点去A地，掷到5、6两点去B地，这样警察有2/3的机会去A地进行巡逻，1/3的机会去B地。
而小偷的最优选择是：以同样掷骰子的办法决定去A地还是去B地偷盗，如掷到1—4点去B地，掷到5、6两点去A地，那么，小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地。
此时警察与小偷所采取的便是混合策略。
假如按这种策略，我们看一下双方的收益。警察的期望得益是：7/3万大于2。警察按此办法比只巡逻A地的收益更高。
一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最优混合策略下的收益为2/3万元。小偷的收益比警察只巡逻A地的收益要低。
因为：当警察去A地巡逻时，小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地，此时警察去A地的得益为：万元；当警察去B地时，同样，小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地，此时警察A地的得益为：万元。
警察总的得益为：万元。
同理，我们可得小偷的总的得益为2/3万元。
这里我们“让”警察和小偷掷骰子以确定去A地还是去B地，目的是要去A地和去B地之间确定一个概率分布，他们当然可用其他方式来确定这个概率分布。
宰割博弈中警察与小偷所用的混合策略，如同小孩子之间玩“剪刀—石头—布”的游戏时所用的策略。在“剪刀—石头—布”这样的游戏中，不存在纯策略均衡，对每个小孩来说，自己采取出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，哪怕是倾向性的策略。如果对方知道你出其中一个策略的可能性大，那么你在游戏中输的可能性就大。因此，每个小孩的最优混合策略是采取每个策略的可能性是1/3。在这样的博弈中，每个小孩各取三个策略的1/3是纳什均衡。
由此可见：纯策略是参与人一次性选取的，并且坚持他选取的策略；而混合策略是参与人在各种备选策略中采取随机选取的。在博弈中，参与人可以改变他的策略，而使得他的策略选取满足一定的概率分布。
若博弈是零和博弈，即若博弈参与人为两人，一方所得是另外一方的所失，或者若博弈是常和博弈，即若博弈参与人为两人，一方所得的增加等于另外一方的损失，此时，对于任何一个参与人而言，都不可能有纯策略的占优策略。博弈参与人采取混合策略是合适的，均衡为混合策略均衡。如在当前的“反恐”博弈中，由于力量的有限，反恐方往往“更多地”将力量放在重点区域，如人口密集的大城市，“一定程度地”关注不太危险的区域，如人口稀疏的农村。这就是混合策略。而恐怖分子同样在玩混合策略：对攻击对象的选择是随机的，对攻击方式的选择也是随机的。
在竞争性的博弈中，该采取混合策略而不采取混合策略将会带来失败。田忌赛马是人人熟悉的故事。齐王与田忌赛马，但齐王的马平均来说要比田忌的马要跑得快，但田忌采纳了孙膑的策略，田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。田忌以三比二获胜，赢了齐王。赛马是零和博弈，齐王的失败在于他使用了纯策略；若齐王使用混合策略，即每次比赛用马采取随机策略，不让田忌预先知晓，那么田忌获胜的机会必定大大小于齐王获胜的机会，齐王不会发生必输的结局。因此，齐王的错误在于没有使用混合策略。txt电子书分享平台
小偷（2）
应当说明的是，田忌赛马是著名的中国古代博弈故事。但其田忌获胜的博弈结果则不是博弈论所能够给出的。博弈论假定了每个参与人都是绝顶聪明的（理性的），博弈论给出的是，田忌和齐王都应采取混合策略，此时有一个混合策略均衡。田忌赛马从反面印证了纳什均衡的含义：若某个参与人主动改变均衡策略，他的收益会降低。这里，主动改变均衡策略而收益降低的参与人是齐王。
5．《三国演义》中的空城计与信息不对称的博弈
如果我们用博弈论的眼光看《三国演义》，三国演义完全是一部记载着许多博弈案例的著作。当然，罗贯中不可能用“博弈”一词。如果我们用一词来概括《三国演义》，这个词就是“计”。计，即计策或策略也。用计，即用�