……＋＋＋…n7
………＋＋＋n8
上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到a在x，y，z三个方向上的自旋都为＋，而乙观察到b在3个方向上的自旋相应地均为…，这种结果出现的可能性是n1。因为观测结果8者必居其一，所以n1＋n2＋…＋n8=1，这个各位都可以理解吧？
现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，在这个方向上，（ax＋，bx…）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两种情况之一：当在x方向上a为＋而b同时为…，或者a不为＋而b也同时不为…，如果这样，它便符合我们的要求，标志着对（ax＋，bx…）的合作态度，于是我们就加上相应的概率。相反，如果在x上a为＋而b也同时为＋，或者a为…而b也为…，这是对（ax＋，bx…）组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。
从上表可以看出，前4种可能都是ax为＋而bx同时为…，后4种可能都是ax不为＋而bx也不为…，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是n1＋n2＋…＋n8=1！所以（ax＋，bx…）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算（ax＋，bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是…n1
n2………n8=…1。
接下来我们要走得远一点，a在x方向上为＋，而b在y方向上为＋，这两个观测结果的相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合ax为＋以及by为＋，或者ax不为＋以及by也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用pxy来表示：pxy=…n1…n2＋n3＋n4＋n5＋n6…n7…n8
嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算pxz，也就是ax为＋同时bz为＋的相关：pxz=…n1＋n2…n3＋n4＋n5…n6＋n7…n8
再来，这次是pzy，也就是az为＋且by为＋：
pzy=…n1＋n2＋n3…n4…n5＋n6＋n7…n8
好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把pxz减去pzy再取绝对值：｜pxz…pzy｜=｜…2n3＋2n4＋2n5…2n6｜=2｜n3＋n4…n5…n6｜
这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们有关系式｜x…y｜≤｜x｜＋｜y｜，所以套用到上面的式子里，我们有：｜pxz…pzy｜=2｜n3＋n4…n5…n6｜≤2（｜n3＋n4｜＋｜n5＋n6｜）
因为所有的概率都不为负数，所以2（｜n3＋n4｜＋｜n5＋n6｜）=2（n3＋n4＋n5＋n6）。最后，我们还记得n1＋n2＋…＋n8=1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：2（n3＋n4＋n5＋n6）=1＋（…n1…n2＋n3＋n4＋n5＋n6…n7…n8）
看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是pxy吗？所以我们得到最终的结果：
｜pxz…pzy｜≤1＋pxy
恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决。
（我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的可以动手一试。）
第十一章 上帝的判决一
castor_v_pollux
一
｜pxz…pzy｜≤1＋pxy
嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，pxy代表了a粒子在x方向上为＋，而同时b粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性是一种合作程度的体现（不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高）
，而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，它们的状态从分裂的一霎那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号传播，那么理论上当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方法推导出来的贝尔不等式。
如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1。定域的，也就是没有超光速信号的传播。2。实在的，也就是说，存在着一个独立于我们观察的外部世界。
那么我们任意取3个方向观测a和b的自旋，它们所表现出来的协作程度必定要受限贝尔不等式之内。也就是说，假如上帝是爱因斯坦所想象的那个不掷骰子的慈祥的“老头子”，那么贝尔不等式就是他给这个宇宙所定下的神圣的束缚。不管我们的观测方向是怎么取的，在epr实验中的两个粒子决不可能冒犯他老人家的尊严，而胆敢突破这一禁区。事实上，这不是敢不敢的问题，而是两个经典粒子在逻辑上根本不具有这样的能力：它们之间既然无法交换信号，就决不能表现得亲密无间。
但是，量子论的预言就不同了！贝尔证明，在量子论中，只要我们把a和b之间的夹角θ取得足够小，则贝尔不等式是可以被突破的！具体的证明需要用到略微复杂一点的物理和数学知识，我在这里略过不谈了，但请诸位相信我，在一个量子主宰的世界里，a和b两粒子在相隔非常遥远的情况下，在不同方向上仍然可以表现出很高的协作程度，以致于贝尔不等式不成立。这在经典图景中是决不可能发生的。
我们这样来想象epr实验：有两个罪犯抢劫了银行之后从犯罪现场飞也似地逃命，但他们慌不择路，两个人沿着相反的两个方向逃跑，结果于同一时刻在马路的两头被守候的警察分别抓获。现在我们来录取他们的口供，假设警察甲问罪犯a：“你是带头的那个吗？”a的回答无非是“是”，或者“不是”。在马路另一头，如果警察乙问罪犯b同一个问题：“你是带头的那个吗？”那么b的回答必定与a相反，因为大哥只能有1个，不是a带着b就是b带着a。两个警察问的问题在“同一方向”上，知道了a的答案，就等于知道了b的答案，他们的答案，100％地不同，协作率100％。在这点上，无论是经典世界还是量子世界都是一样的。
但是，回到经典世界里，假如两个警察问的是不同角度的问题，比如说问a：“你需要自己聘请律师吗？”问b：“你现在要喝水吗？”这是两个彼此无关的问题（在不同的方向上），a可能回答“要”或者“不要”，但这应该对b怎样回答问题毫无关系，因为b和a理论上已经失去了联系，b不可能按照a的行动来斟酌自己的答案。
不过，这只是经典世界里的罪犯，要是我们有两个“量子罪犯”，那可就不同了。当a决定聘请律师的时候，b就会有更大的可能性想要喝水，反之亦然！看起来，似乎是a和b之间有一种神奇的心灵感应，使得他们即使面临不同的质询时，仍然回答得出奇地一致！
量子世界的bonnie&clyde，即使他们相隔万里，仍然合作无间，按照哥本哈根解释，这是因为在具体地回答问题前，两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个人（粒子）处在一种“纠缠”
（entanglement）的状态，他们是一个整体，具有一种“不可分离性”（inseparability）！
这样说当然是简单化的，具体的条件还是我们的贝尔不等式。总而言之，如果世界是经典的，那么在epr中贝尔不等式就必须得到满足，反之则可以突破。我们手中的这个神秘的不等式成了判定宇宙最基本性质的试金石，它仿佛就是那把开启奥秘之门的钥匙，可以带领我们领悟到自然的终极奥义。
而最叫人激动的是，和胡思乱想的一些实验（比如说疯狂的量子自杀）不同，epr不管是在技术或是伦理上都不是不可实现的！我们可以确实地去做一些实验，来看看我们生活其中的世界究竟是如爱因斯坦所祈祷的那样，是定域实在的，还是它的神奇终究超越我们的想象，让我们这些凡人不得不怀着更为敬畏的心情去继续探索它那深深隐藏的秘密。
1964年，贝尔把他的不等式发表在一份名为《物理》（physics）的杂志的创刊号上，题为《论epr佯谬》（ontheeinstein…podolsky…rosenparadox）。这篇论文是20世纪物理史上的名篇，它的论证和推导如此简单明晰却又深得精髓，教人拍案叫绝。1973年诺贝尔物理奖得主约瑟夫森（briand。josephson）把贝尔不等式称为“物理学中最重要的新进展”，斯塔普（henrystapp，就是我们前面提到的，鼓吹精神使波函数坍缩的那个）则把它称作“科学中最深刻的发现”（themostprofounddiscoveryinscience）。
不过，《物理》杂志却没有因为发表了这篇光辉灿烂的论文而得到什么好运气，这份期刊只发行了一年就倒闭了。如今想要寻找贝尔的原始论文，最好还是翻阅他的着作《量子力学中的可道与不可道》（speakableandunspeakableinquantummechanics；cambridge1987）。
在这之前，贝尔发现了冯诺伊曼的错误，并给《现代物理评论》（reviewsofmodernphysics）杂志写了文章。虽然因为种种原因，此文直到1966年才被发表出来，但无论如何已经改变了这样一个尴尬的局面，即一边有冯诺伊曼关于隐函数理论不可能的“证明”，另一边却的确存在着玻姆的量子势！冯诺伊曼的封咒�