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根据以上判断，我们利用管辖范围内所有牧师人数，即181000人——该数据就是波林博士计算时所采用的数据——进行自己的推算。由于从181000名牧师中抽取了25000人接受调查，得到了改变信仰的教徒为51361人，如果调查全部牧师，转变信仰的总人数应该约为370000人。
我们这种粗糙的方法产生了一个十分可疑的数据，但是它至少与那个在全国范围发布的数据一样“可靠”，而后者却是前者的11倍，是的，300万看上去更加令人欢欣鼓舞些。
内在有偏的样本（2）
至于奥斯勒先生充满自信的那句话“考虑到误差”，好吧，如果他发现了一种方法足以弥补未知量所带来的误差，那么整个统计界都将会为之感激涕零。
在上述背景下，让我们来研究一则以前的新闻报道：“1924级的耶鲁毕业生平均年收入为25111美元”，要知道几年前的钱是更值钱的。
好家伙，他们干得真不赖！
可是，等一等，这个令人印象深刻的数字到底意味着什么？是否像表面看到的那样，足以证明如果你把你的男孩送进耶鲁大学，或者牛津大学，那么在年老时，你就不需要辛苦地上班，甚至他将来年老时也不用上班？
在充满怀疑的惊鸿一瞥后，关于该数字的两个疑点凸现出来：它惊人的精确；它大得令人难以置信。
对一群相隔千山万水的人，了解他们的平均收入，而且竟然精确到以元为单位，这几乎不太可能。就算是自己去年的收入，除非全部来自薪水，否则也很难知道得如此准确。但是对于年收入25000美元的阶层来说，投资渠道更广，因此他们的收入不可能完全来自于薪水。
而且毫无疑问，这个可爱的平均数出自耶鲁人之口。即使1924年他们在纽海文译者注：纽海文是美国东北部康涅狄格州的一个城市，耶鲁大学就坐落在这个城市。接受过优良的教育，也很难保证四分之一个世纪后，他们还能坚持说真话。当问及收入时，有些人出于虚荣或者天生乐观而夸大数据；有些人却故意缩小数字，特别当涉及征所得税问题时，往往会犹豫不决，生怕与其他文件填报的数据不符，谁知道税务员又看到了什么？这两种趋势——夸大与缩小，也许将相互抵消，但这种可能性很小。一般而言，一种趋势总会强于另一种，但我们很难猜测哪种趋势将胜出。
我们试着来解释这个数字，单凭常识就知道这个数字与现实出入很大。现在，让我们找找最大误差的可能来源。是什么使那些实际上收入也许只有25111美元一半的人们最终会拥有如此丰厚的平均收入？让我们来揭开这神秘的面纱。
可以肯定的是：耶鲁毕业生的报道基于对某个样本的分析，因为常识告诉我们，没有人能够掌握所有仍在世的1924级学生的情况，25年后，他们中的许多人已经消失在茫茫人海中。
并且，在那些能够取得联系的人中，许多人根本不会回答问卷，特别是一个涉及###的问卷。一般情况下，邮寄问卷的回收率达到5％～10％就已经相当可观了。也许这个调查的回收率会高些，但也不可能达到100％。
因此，这个收入数据建立在一个样本之上：由能够取得联系并愿意回答问卷的耶鲁学生组成。那么，这个样本的代表性强吗？也就是说，能否假设样本与未被样本包括的那些人——无法联系的人或者不愿意回答的人——具有同等的收入水平？
那些在耶鲁大学毕业生通讯录上被注明“地址不详”的迷路小羊羔是谁呢？他们是高收入阶层吗？华尔街的金融家、公司领导层，亦或是制造企业或公用事业的总裁？不，要找到富人的地址根本不难。这个班级最显赫的人，即使忽略了与校友办公室联系，他们的地址也可以通过查《美国名人录》（Whos Who in America）或其他参考资料找到。因此，我们可以较合理地推测，那些被遗漏的人在获取耶鲁文学学士以后的25年间，他们没能实现自己光辉梦想，他们是小职员、技工、流浪汉、失业的酒鬼、仅仅得以糊口的作家或艺术家……将六七个甚至更多这种人的收入相加才可能达到25111美元。他们不会在班级的联谊会上注册，仅仅是因为他们支付不起路费。 txt小说上传分享
内在有偏的样本（3）
又是谁会将调查问卷丢进最近的废纸篓？我们不太肯定，但是猜想他们中大部分人并没有赚到足以炫耀的数目。他们的心态有些类似于第一次拿到工资的小职员，当他发现工资支票上粘着一张小纸条，建议保密工资并不要将工资作为与同事的谈资时，“别担心，”他对老板说，“我与你一样，对这么低的工资感到羞愧。”
很明显，样本遗漏了可能降低平均收入的两类人。让我们见识一下25111美元的庐山真面目：如果它是一个真实的数据，它也仅仅代表了1924级耶鲁学生中能够联系上的，并愿意站出来说出收入的一个特殊群体。当然，它的真实性还需要满足这个假定：这些绅士们说的都是真话。
我们能否过于轻率地做出这样的假定呢？来自抽样理论的一个分支，即市场研究的经验告诉我们，人们会说真话的假定往往是不可靠的。以前曾经做过一项了解杂志读者阅读量的上门调查，其中的一个主要问题是：“你和你的家人阅读什么杂志？”当将调查结果制表并分析后发现：喜欢《哈泼斯》（Harper’s）杂志的人相当多，这本杂志如果不能说是曲高和寡，但至少也是品位不俗；而喜欢《真实故事》（True Story）——一本定位大众化杂志的人就不多了。但是几乎同时期的、由出版商提供的数据很明显地显示出相反的结果：《哈泼斯》杂志的发行量只有几十万份，而《真实故事》杂志的发行量却多出了百万份。正如这项调查的设计者所疑惑的，也许他们问错了对象，但这又并不可能，因为上门调查走访了美国范围内各式各样的居民区。惟一合理的解释是许多被调查者，即那些调查中回答问题的人没有说实话，几乎所有的调查都无法阻止人们往自己脸上贴金的做法。
最后你将发现，当你想知道到底什么人在读某本杂志时，询问是无济于事的。直接上门去告诉他们你想收购旧杂志好了，看看他们能提供什么，这样你才能掌握更多的信息。你只需要清点一下《耶鲁评论》（Yale Reviews）和《爱情罗曼史》（Love Romances）各自的份数就够了。当然，即便采用这种方法也只能说明人们曾经买了什么，而不能确定人们读过些什么。
同样，当你下次看到普通美国人（最近，这个词频繁出现，但大多数情况下却是不现实的）每天刷牙次时，虽然这个数据是我瞎编的，但它与别人的数据一样好用。请问自己一个问题：不管是谁，他怎样才能发现这个事实呢？在看了铺天盖地的、宣传不刷牙是对社会冒犯的广告之后，一名妇女还会向陌生人承认自己不经常刷牙吗？这个统计资料只能对那些希望了解人们如何看待刷牙的人才有价值，却根本不能反映牙刷接触牙齿的频率。
我们知道，除非在某处安装了泵站，否则一条河流永远不可能高于它的源头。同样的，根据样本得到的结论不会比样本更精确。当数据经过层层统计处理，最后简化为一个带小数点的平均数时，结论似乎闪耀着精确的光芒，但只要再仔细留心整个抽样过程，这个光芒就会消逝。
为了确保结论有价值，根据抽样得出的结论一定要采用具有代表性的样本，这种样本才能排除各种误差。这就是耶鲁的收入数据失真的原因，它也是你在报纸和杂志中读到的许多资料根本不值一提的原因。
内在有偏的样本（4）
一位心理医生曾经写道：实际上每个人都有点神经质。暂且不去管这种提法是否破坏了“神经质”一词的含义，我们来看看这个医生的样本，也就是说，他观察了哪些人才得到了上述结论？事实上，他是在对他的病人进行研究后才得到了这个发人深省的结论，这和代表全体人的样本可差的是十万八千里。想想看，如果一个人心理健全，他是永远都不会接受心理医生的治疗的。
对你所读到的东西多思考一下，你将避免接受许多似是而非的结论。
记住下面这点是有益的：无形的误差与有形的误差一样容易破坏样本的可信度。也就是说，即使你找不到任何破坏性的误差来源，但只要有产生误差的可能性，你就有必要对结果保留一定的怀疑。事实上误差总是存在，如果你仍旧半信半疑，想想1948年和1952年的美国总统大选，它们已足够证明这一点。（1948年美国选举时，所有民调都显示###党的杜威会获胜，结果却是杜威败给了共和党人杜鲁门，这是美国历史上至今最大的“选举惊奇”。1952年美国大选，新闻传媒普遍看好###党竞选人史蒂文森，最终共和党候选人艾森豪威尔以绝对优势赢得这场选举。）
更远的例子可以追溯到著名的《文学文摘》（Literary Digest）的惨败，这件事发生在1936年。曾经准确预测了1932年美国大选的1000万个电话用户和《文学文摘》订户，他们又对1936年的大选结果进行了预测，他们向那个倒霉的杂志编辑信誓旦旦地保证：兰登（Landon）将在竞选中脱颖而出，并且与罗斯福（Roosevelt）的所得票数之比为370∶161。这样一个久经考验的调查群体怎么可能产生误差呢？但的确有误差，正如后来许多大学论文和其他史学分析人员所发现的，1936年就有能力购买电话和订阅杂志的人并不能代表所有的选民，至少在经济上，他们是一个极特殊的群体，是有偏的，后来证实他们中的许多人是共和党的选民。该样本选择了兰登，而全国选民却心系罗斯福。
最基本的样本是随机样本，它是指完全遵循随�