本。古
外已外已刻者尚得七种，曰句股容三事拾遗三卷，附例一卷，本绘亭监副博启法补其遗，取内容方边员径垂线交互相求，一以天元驭之。曰三角和较算例一卷，取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法，用和较推演成式。曰演元九式一卷，括玉鉴中进退消长诸例，借无数之数，以正负开方式入之。曰台锥积演一卷，以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙，爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷，以四分周术佐以三统汉术，推得宣王十有六年九月既望甲戌，与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷，以元和李四香原术未备，为增补二十七术，合成四十术。曰推算日食增广新术一卷，推广正升斜升横升之算法，以求太阴随地随时之明魄方向分秒，复推其术，以求交食限内之方向，及所经历之诸边分。斋
馀若馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话，凡若干卷，未有刻本。其同县友有易之瀚者，亦以算名。知
易之易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鉴补草，因从问难，为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则，天元例十一则，四元例十三则。斋
顾观顾观光，字尚之，金山人。太学生，三试不售，遂无志科举，承世业为医。乡钱氏多藏书，恆假读之。博通经、传、史、子、百家，尤究极天文历算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙，蒐补其未备。如据周髀“笠以写天，青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云，而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员，以视法变为平员，则不得不以北极为心，而内外衡以次环之，皆为借象，而非真以平员测天也。知
开元开元占经鲁历积年之算不合，因用演积术，推其上元庚子至开元二年岁积，知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪，知其术虽起立春，而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首，闰在岁终，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家，以为未能推算入微。爰别立术，以日法朔馀展转相减，以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求，惟朔馀过於强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩，梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差，彼此递减，必得一齐同之数。引而伸之，即诸乘差，则八线、对数、小轮、橢员诸术，皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术，知回回、太西历法皆源於此。其所谓高月者即月孛，月藏者即月引数，日藏者即日引数，特称名不同，亦犹回历称岁实为宫日数，朔策为月分日数也。主
其论其论婺源江氏冬至权度，推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度，而后求两心差，乃专用壬戌。今用丁未求得两心差，適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端，其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距，术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距，不必更资实朔，较本法为简而密矣。知
西人西人割圜，止知内容各等边之半为正弦，而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术，别立求外切各等边之正切法，以补其缺。杜德美求员周术，用员内容六边形起算，巧而降位稍迟，谓内容十等边之一边，即理分中末线之大分，距周较近。且十边形之边与周同数，不过递进一位，而大分与全分相减即得小分，则连比例各率，可以较数取之。入算尤简易，可用弧度入算，不用弧背真数。然犹虑其难记，仍不能无藉於表，因又合两法用之，则术愈简，而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术，止有弦矢求馀线术，以为可通之割、切二线，因补其术。西人求对数，以正数屡次开方，对数屡次折半，立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆，捷矣，而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较，可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙，又有新术，而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数，因任意设数，立六术以御之，得数皆合。复立还原四术，并推衍为和较相求八术，为自来言对数者所未有也。又谓对数之用，莫便于八线，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用诸乘方差，迎刃而解，尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术，如代数、微分、诸重学，皆有所纠正，类此。斋
所著所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古，依九章分为九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉，皆采古书而分门隶之。曰九数外录，则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学，凡记十篇。曰六历通考，则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解，曰回回历解，皆就原法疏通证明之。曰推步简法，曰新历推步简法，曰五星简法，则就原术改度为百分，省迂回而归简易，盖於学实事求是，无门户异同之见，故析理甚精，而谈算为最云。其友人韩应陛，亦以表章算书显。斋
应陛应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子，为文古质简奥，非时俗所尚。既而从同里姚椿游，得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学，为几何原本，凡十五卷，明万历间利译止前六卷。咸丰初，英人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订，授之剞劂，亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学，应陛推极其致，往往为西人所未及云。知
左潜左潜，字壬叔，大学士宗棠从子。补县学生。於诗、古文辞无不深造，尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒，士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法，无不贯通。且能自出己意，变其式，勘其误，作为图解，往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术，既成，忽悟通分捷法析分母、分子为极小数，根同者去之，凡多项通分，顷刻立就。因演数草，为通分捷法一帙。古
所譔所譔缀术补草四卷，自序曰：“自泰西杜德美创立割圜九术，以屡乘屡除通方圜之率，我朝明氏、董氏各为之说，而杜书之义，推阐靡遗。顾八线互求，尚无通术，未足以尽一圜之变，非明氏、董氏之智力，不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也，资於借根方；其不能广杜氏之法也，亦限於借根方。盖借根方即天元一之变术，究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明，又旁参以董氏之法，八线相求，各立一式，因式立法，因法入算。乡之不可立算者，今皆能驭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，则能济法之穷；而度圜诸线，一以贯之矣。推其立式之由，所谓比例术，即明氏定半径为一率，所有为二率或三率之法也。所谓还原术，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所谓借径术，即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法，又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏，而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者，以借根方取两等数，其分母、分子杂糅繁重，既不可通，其多号、少号，展转互变，又不可约。试取明氏书驭之以缀术，其递降各率，顷刻可求。则是书也，其真能因法立法，别树帜於明、董之后者欤？书为徐君青先生所作，吴君子登成之，顾详於式而略於草。敬考其立法之原，不可遽得，学者难焉，潜因於暇日为补草四卷，因缀数语於简端云。”古
又譔又譔缀术释明二卷，湘乡曾纪鸿为之序，略曰：“易系云：‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定，莫数若矣。在昔圣神，制器尚象，利物前民，於数理必有究极精微，范围后世者，代久年湮，渐至失传。近三百年，泰西犹能推阐古法，而中国才智之士，或反率其成辙。孔子曰：‘天子失官，学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术，而未标角度八线钤表，则虽有用其理以入算者，而无表可检。则每求一数，必百倍其功，而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表，覈其立法得数之原，甚属繁难，而成表之后，一劳永逸。大至无外，细及极微，莫不以此表测之，则其用之广大可想。然得表之后，虽无事於再求，而任举一数，无从较其讹误。若仍用旧术，则非★月经旬，不能得一数，此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者，例用六宗、三耍、二简各法，若任言一弧，必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法，则但有弧径，而八线均可求。董方立解杜术，先取其线之极微者，令与与弧线合，而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合，故用尖锥以释弧矢，而弧矢之数理以显。明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者，用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者，考其乘除之率数，与杜术乘除之原理合，故用缀术以释弧矢，而弧矢之数理亦出。董、明二氏，均为弧矢不祧之宗，无庸轩轾。迩百年中继起者，如戴、徐、李三氏所著书，虽自出心裁，要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟，於数学尤孜孜不倦，遇有疑难，必穷力追索，务洞澈其奥窔。尝谓方员之理，乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术，又释戴鄂士求表捷术，兹又释明静菴弧矢捷术，而一贯以天元寄分之式，於员率一道三致意焉，可谓勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟於甲戌秋不永年而逝，凡在同人，无不叹惜！况余与之为两世神交，安能无怆切耶！”知
曾纪曾纪鸿，字栗诚，