我说第二个。”
“等一下！”一位队友大声叫停了程诺，急忙从背后的书包里拿出一摞草稿纸，将程诺提出的第一个证明法记下以后，才不好意思的对程诺说道，“你继续吧。”
他这么大声，自然引起了旁边许多学校的注意。
于是当众人看到剑桥大学这边两位天资横溢的博士生，此时却宛若小学生一般，仰着头期待着那边程诺讲话，皆是一脸的疑惑之色。
但时间紧迫，众人的视线只是在剑桥大学的队伍上停留了几秒时间，便匆匆接着自己的埋头苦算。
“呃，那我接着说。”程诺接着说道，“我第二个想出的办法是利用素数的分布进行求证。”
“法国数学家阿达马和比利时数学家瓦莱…普森于 1896 年证明的素数定理中指出，N 以内的素数个数πN的渐近分布为πN~ N/lnN，N/lnN随 N 趋于无穷……”
“……由上，可得知对任意正整数 n ≥ 2，至少存在一个素数 p 使得 n <； p <； 2n。”程诺边说，一旁那位队友便在纸上唰唰的记着，双眼中满是掩饰不住的兴奋之色。
本以为程诺能提出一个新方向的证明方法，已经是实属难得，可未曾料想，程诺一口气直接提出了两个。
但程诺让两人的惊讶还在继续。
程诺瞥见记录的那位队友已经记完，清了清嗓子，开口道，“再说第三个。”
“还有？”队友诧异出声。
“当然还有。”程诺笑呵呵的说道，望着揉着手腕的队友，“这才哪到哪！”
“第三种，利用代数数论的知识证明。利用代数数论手段证明素数有无穷多个的出发点之一是利用所谓的欧拉φ函数。”
“对任一正整数 n，欧拉φ函数的取值φn定义为：φn：=不大于 n 且与 n 互素的正整数的个数。对任一素数 p，φp= p … 1，这个是因为 1，。。。， p … 1 这 p … 1 个不大于 p 的正整数显然都跟 p 互素。”
“然后，对两个不同的素数 p1 和 p2，φp1p2=p1 … 1p2 … 1，这是因为……”
第四百四十五章 九个方向（）
445章
“这是因为，从 1 到 p1p2 这 p1p2 个正整数中， p1， 2p1，， p2p1 这 p2 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p1； p2， 2p2，， p1p2 这 p1 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p2；其余全都跟 p1p2 互素。”
“由此，可以得到φp1p2为 p1p2 … p2 … p1，上述的推理可以无穷重复，进而表明素数有无穷多个。”
仅仅不到四五分钟的时间，程诺已经不停歇的说出三个利用新方向的证明法，让两位队友不禁大开眼界。
要这三个证明法都仅仅是欧里几得证明法的变种的话，两位顶多会认为程诺对欧里几得证明法研究颇深而已，倒升不起任何崇拜之意。
但三个证明法全部都不同于欧里几得那种整数乘起来再做点加减法的证明，而是另辟蹊径，分别利用“互素序列”、“素数分布”、“代数数论”三个完全不同的方向进行拓展。
程诺说出的三个证明法都不算太过复杂，甚至还可以说是简单的过分。
但越简单，越让两人吃惊不已。
对于一个命题的证明过程，无论是哪个数学家，都希望当然是越简单越好。
别看许多高大上的数学定理的证明过程都是无比复杂，但那群数学家们也不愿意这样啊！
还不是因为找不到更加简单的证明方法。
越简单，就越容易让人理解。但对于数学家的要求越高。
同一个定理，一个能用一页论文将其证明的数学家，比之要用五页论文才能将其证明的数学家，学术水平至少要高上一倍。
也因此，两人现在看待程诺的眼神，宛若是看待一只怪物。
这家伙……真的只是一个研究生？
本以为程诺的实力只是和他们两人在伯仲之间而已。如今感觉，就程诺现在表现出来的实力，在他们学校担任副教授都够格了吧！
“有水吗，有点口渴了。”在两人还是思索之际，程诺哑着嗓子问道。
“哦哦，我这里有水。”一人急忙将背包里的一瓶矿泉水递了过去。
“谢了。”
程诺咕咚咕咚喝了半瓶，等嗓子里那种不适感过去，道，“之前说到哪了，哦，我讲完第三个证明法了，下面说第四个。”
程诺忘了一眼在那握笔准备记录的队友道，“如果累了的话，可以让他帮你。”
说完，程诺便接着上面开始讲。
“第四个，利用解析数论的证明，这个方法和我上面用代数数论的证明方法有异曲同工之妙，你们都知道，欧拉乘积公式是：Σnn…s =Πp1 … p…s…1 s &ap；gt； 1，左侧经解析延拓后，可变为解析数论中极重要的函数：黎曼ζ函数ζs。”
“对于 s = 1，欧拉乘积公式的左侧是被称为调和级数的发散级数……”
程诺清了清嗓子，继续说，“上面这几个都是和数论有关的，下面我再说几个其他领域方向的证明方法。”
在两人瞠目结舌下，程诺娓娓说道，“第五个，可以利用组合证明的方法。证明的思路是这样的：任何正整数 n 都可写成 n = rs2 的形式，其中 r 是不能被任何大于 1 的平方数整除的正整数， s2 则是所有平方数因子的乘积。假如素数只有 n 个，则在 r 的素数分解中……”
“呃，程诺，你能不能再讲一遍。”负责记录的那位学生挠挠头，略显尴尬的说道，“我刚才光顾得愣神，忘了记录了。”
程诺无奈的耸耸肩，“好吧，我再说一遍，这次你们可要认真听。”
篝火的火光映在程诺侧脸上，显得光辉无比。
程诺座下两位博士生宛若乖宝宝般齐齐点头，一副学生虚心受教的姿态。
“……第六个，利用拓扑的方法证明。”
两人顿时疑窦丛生。
程诺察觉到他们疑惑的小眼神，哈哈笑了笑，“我明白你们心中的疑惑，拓扑学似乎和数论是两个很不想干的领域，为什么我却这么说。等我讲完，你们就清楚了。”
“我们可以定义整数集上的一个拓扑，其开集由且仅由空集？及算术序列 a？＋ b a ≠ 0 和 b 皆为整数的并集组成。不难证明，如此定义的开集满足拓扑的定义，即：……”
“……由此，便得知素数有无穷多个。你们现在明白了吗？”
两人齐齐小鸡啄米般点头，脑中不断回味着程诺的话语。
但程诺并没有留给两人太多回味的时间。
在脑海中简单过一遍思路，程诺便讲述下一个证明法。
如今半小时的时间差不多已经过去一半，不抓紧的时间的话，还真的有可能讲不完。
“第七个，利用素数在信息、编码等领域的应用进行证明。过程很简单，正整数 n 都可分解为素数的连乘积：n = p11·p22”
“……第八个，利用函数的方向证明，设 n为可整除 n 的不同素数的个数，假如素数只有有限多个，其连乘积为 p，则显然对所有 n 都有 n= n ＋ p……”
“……第九个，我将其称为素数的单行证明，单行表达式为：0＜nsπ/p=nsπ1＋2np＇/p，假设素数只有有限多个。若素数只有有限多个，则表达式中左侧“&ap；lt；”右端连乘积中的 s 的自变量π/p 全都在 0 和π之间， sπ/p&ap；gt； 0，……”
“呼呼…！”
说完第九个证明法后，程诺就觉得口干舌燥，把剩余的半瓶矿泉水咕咚咕咚全都灌了下去。
一人很识趣的又递给程诺一瓶矿泉水。
见程诺许久没有了动作，那个负责记录的同学翻了翻自己写了有四页多的公式，咽了咽唾沫，小心翼翼的问道，“还有吗？”
程诺摆摆手，苦笑道，“新方向的证明法我能想到的只有这九个了，唉，距离勾股定理五百多种证明方法还是差的太远啊！”
程诺苦笑，他们也在苦笑。
勾股定理的五百多种证明法，可是历经几千年历史，数十代数学家的发展下才形成的。
程诺能在半个小时不到的时间里就能想出素数无穷的九种证明法，已经超出两人理解的范畴。
可听程诺的语气，他似乎还挺不满意。
这……
他们还能说啥！
第四百四十六章 十一个证明法（）
446章
“那我们就交这九个吧。”负责记录的那位同学翻了翻记录下的那些证明过程，对两人说道。
“嗯，九个绝对足够了。如果这样还拿不了第一的话，别说是在帐篷里挤一晚，就算是在外面冻一万我都服气。”另一人点头说道。
“程诺，你看呢？”两人达成了一致的意见，但还是把最终的决定权交给程诺。
程诺沉吟几秒，“时间还够，再添上几个吧，我总觉得九个还不算稳妥。”
见两人欲开口，程诺赶在这之前继续说道，“虽然新方向的证明法没有了，但只是欧里几得证明法的变形的话，还是不困难的。”
两人同时面色大喜。
虽然在他们看来，九个证明法已经足够碾压其他的学校，但多来几个的话，他们也没有拒绝的道理。
没有人会嫌多的！
半个小时的时间还剩下最后五分钟，程诺看见不少学校的学生已经开始最后的挣扎。
程诺不清楚他们到底鼓捣出多少证明方法来，本着狮子搏兔亦用全力的想法，程诺可不准备有任何的留手。
“欧里几得证明法的变种有许多，但万变不离其宗，其余的都是将一串整数乘起来再做点加减法的证明罢了。我就简单的说两个。”
“假设只存在有限多个素数 p1，。。。， pn，令 N = p1···pn，则所有 pi i = 1，。。。， n都是 N 的素因子。由于 p1，。。。， pn 是全部素数�