《亚里士多德的三段论》

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亚里士多德的三段论- 第20部分


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    两个因子定律,我们就得到了除Baroco与Bocardo之外的、所有的不完全三段论的严格地形式化的证明。

    这除外的两个式需要命题逻辑的另外的断定命题。

    18。归谬法证明ABaroco式与Bocardo式用换位法不能化归为第一格。

    A前提换位会产生Ⅰ前提,由它与O前提一起不能得出什么东西,而O前提又不能换位。

    亚里士多德企图用归谬法(reducCtioadimposibile,α‘παγωγηV

    ∈sDα‘δDα)

    来证明H J F H J F这两个式。

    对Baroco的证明这样说道:“如果M属于所有N,但不属于有些X,则N应不属于有些X,就是必然的了;因为如果N属于所有X,而M也表述所有N,M必属于所有X;但已假定M不属于有些X”。

    ①这个证明是太简洁了而且需要解释,通常是用以下方式解释:②

    我们要证的三段论:(1)如果M属于所有N并且M不属于有些X,则N不属于有些X。

    已经承认前提“M属于所有N”以及“M不属于有些X”都真;则结论“N不属于有些X”必须也是真的。

    因为如果它是假的,它的矛盾命题“N属于所有X”就会是真的。

    这最后一个命题就是我们逆推的起点。

    因为已经承认前提“M属于所有N”是真的,我们从这个前提与命题“N属于所有X”

    (用

    ①《前分析篇》i。

    5,27a37②例如,参见迈尔《亚里士多德的三段论》,卷iia,第84页。

…… 94

    28第三章 亚里士多德三段论系统

    Barbara式)得到结论“M属于所有X”。

    但这个结论是假的,因为已经承认了它的矛盾命题“M不属于有些X”

    是真的,所以我们逆推的起点“N属于所有X”

    导致了一个假的结论,从而它必是假的,而它的矛盾命题,“N不属于有些X”必是真的。

    这个论证只有表面的说服性;事实上它并没有证明上面的三段论。

    它仅能应用于传统的Baroco式(我以这个式通常带有动词“是”的形式来引述它,而不用亚里士多德式的带有“属于”字样的形式)

    :(2) 所有N是M,有些X不是M,所以有些X不是N。

    这是一条推论规则,假定前提都真的话,那也就允许我们断定这个结论。

    它并不说明当前提都假时,会发生什么事情。

    这是与一条推论规则无关的,因为,显然,一个基于假前提的推论不能是正确的。

    但亚里士多德式三段论都不是推论规则,它们都是命题。

    三段论(1)是一个蕴涵式,它对于变项M,N和X的所有的值都是真的,而不仅是对于那些能确证这些前提的值才是真的。

    如果我们将此Baroco式应用于词项M=鸟,N=动物,与X=猫头鹰时,我们得到一个真的三段论(我用带“是”字的形式,如亚里士多德在例子中所作的那样)

    :(3) 如果所有动物都是鸟并且有些猫头鹰不是鸟,

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    18。归谬法证明A                                                             38

    那么有些猫头鹰不是动物。

    这是一个Baroco式的例子,因为它用替换而由该式得出。

    但上面的论证不能应用于这个三段论。

    我们不能承认这些前提都是真的,因为命题“所有动物是鸟”和“有些猫头鹰不是鸟”

    确实是假的。

    我们不需要假定结论是假的;不论我们假定它的虚假性与否,它总是假的。

    但主要之点在于;结论的矛盾命题,亦即命题“所有猫头鹰是动物”与第一个前提“所有动物都是鸟”在一起产生出的结论不是假的,而是真的:“所有猫头鹰都是鸟”。

    “归谬”在这个情况下是不可能的。

    亚里士多德所提出的证明既不是充分的,也不是一个归谬的证明。

    亚里士多德用与直接的或显示的证明相对比的办法,来描述间接的证明或“归谬法”的论证。

    间接证明假定它希望否决的东西,即用还原法去否决被认为假的命题,而显示法证明从承认为真的命题开始。

    ①因为如果我们要用归谬法证明一个命题,我们必须从它的否定出发并从而导出一个显然虚假的命题。

    Baroco式的间接证明应从该式的否定出发,而不是由它的结论的否定出发,并且这个否定应导致一个无条件的虚假的命题,而不是一个仅在某些条件下才是假的命题。

    我将在此处提出一个这样的证明的简述。

    令α指示命题“M属于所有的N”

    ,β指示“N属于所有X”

    ,以及γ指示“M属于所有X”。

    因为一个A前提的否定是一个O前提,“非

    ①《前分析篇》i。

    14,62b29,“归谬法的论证,不同于显示法的证明在于它设置它希望反驳的命题,即用还原为公认为虚假的命题的办法来反驳设置的命题;而显示法证明则从它所承认(为真)的论点出发。”

…… 96

    48第三章 亚里士多德三段论系统

    β“

    ①是“N不属于有些X”的意思,而“非γ”是“M不属于有些X”的意思。

    根据Baroco式,蕴涵式“如果α并且非γ,则非β”

    是真的,或者,换言之,α并且非γ与β不同真。

    因此,这个命题的否定意味着“α并且β并且非γ”同真。

    但从“α并且β”用Barbara式得出“γ”

    ;因此,我们得到了“γ并且非γ”

    ,亦即一个由于有着形式的矛盾而显然虚假的命题。

    这个用归谬法对Baroco式的真正的证明,完全不同于亚里士多德所提出的证明,这是易于看出的。

    Baroco式能以一个极简易的显示证明从Barbara式得到证明,它需要一个、也仅仅只需要一个命题逻辑的断定命题,那就是以下的复杂的易位律:(4)如果(如果p并且q,则r)

    ,那么(如果p并且非r,则非q)。

    ②令“M属于所有N”代p,“N属于所有X”代q,以及“M属于所有X”代r。

    通过此替代,从(4)的前件得到Barbara式,并因而可分离出后件,它读作:(5)如果M属于所有N并且M属于所有X是不真的,那么N属于所有X是不真的。

    因为O前提是A前提的否定,我们可以在(5)中以“不属于有些”替代“属于所有是不真的”

    ,从而得到Baroco式。

    毫无疑问,亚里士多德是知道在上述证明中所涉及的易位律的。

    这个定律与亚里士多德透彻地研究过的所谓三段论

    ①我用“非”作为命题的否定“这是不真实的……”的缩写。

    ②见《数学原理》第18页,断定命题P3。

    37。

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    18。归谬法证明A                                                                        58

    的“转换”

    ①(conversion)

    密切相联。

    转换一个三段论,就是:把结论的反对命题或矛盾命题(在归谬法证明中仅采取矛盾命题)

    与前提之一一起采取,从而推翻另一个前提。

    亚里士多德说:“这是必然的:如果结论已被转换并且前提之一成立,则另一个前提应被推翻。

    因为如果它应当成立,则结论也必定成立了。“

    ②这是对复杂的易位律的一个描述。

    所以亚里士多德知道这个定律;而且,他应用它从Barbara式得出Baroco式和Bocardo式。

    在同一章中研究第一格各式的转换的时候,他说:“令三段论是肯定的(即Barbara式)

    ,又令它如已说过的那样转换(即用矛盾的否定)。

    那么,如果A不属于所有C但属于所有B,B将不属于所有C。

    而且,如果A不属于所有C,但B属于所有C,A将不属于所有B“。

    ③在这里提出了Baroco式与Bocardo式证明的最简单的形式。

    在三段论理论的系统解说中,这些正确的证明都被不充分的归谬论证所代替。

    我想,理由在于亚里士多德并没有把通过假设的论证(argumens

    ∈‘ξπθ∈’δ∈ωs)

    看作真正J证明的手段。

    所有论证,对于他来说,都是使用直言三段论的证明;他力图表明归谬证明,就其至少包含的一部分是直言三段论而言,乃是一种真正的证明。

    在分析正方形的一边与其

    ①《前分析篇》i。

    8—10。

    ②同上,8,59b3,“因为这是必然的,如果结论已被改变成与它相反的东西并且前提之一成立,则另一个前提应被推翻。

    因为如果它应当成立,则结论也必定成立了。“参见《论辩篇》vi。

    14,1634,“如果一个结论是不真的,那么必然导致诸前提中的某一个的取消,因为给出所有前提的话,那个结论就必定产生。”

    ③《前分析篇》i。

    8,59b28。

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    68第三章 亚里士多德三段论系统

    对角线不可公约的定理的证明时,他明白地说:我们由一个三段论可知:这个定理的矛盾将导致荒诞的后果,即奇数应等于偶数,但定理本身是由一个假设来证明的,因

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