亚里士多德的三段论- 第27部分

　　　　有意义的表达式用以下方式归纳地定义为：（ａ）任何命题变项是一个有意义的表达式；（ｂ）如果α是一个有意义的表达式的话，Ｎα也是一个有意义的表达式；（ｃ）

　　　　如果α和β都是有意义的表达式，则Ｃαβ也是有意义的表达式。

　　　　分离规则就是前面谈到过的斯多亚派的“肯定前件的假言推理”

　　　　：如果Ｃαβ这种类型的命题被断定为真，并且它的前件α也被断定为真，那么就可以允许断定它的后件β，而把它从蕴涵式中分离出来作为一个新的断定命题。

　　　　用这两条规则我们能从我们这组公理推导出所有ＣＮ系统的真断定命题。

　　　　在这个系统中，如果我们要有除Ｃ和Ｎ之外的其它的函子，如像Ｋ，我们必须用定义来引进它们。

　　　　这可以用两种不同方式来作到，如我将在Ｋ的例子中表明的那样。

　　　　合取式“ｐ并且ｑ”的意思犹如“（如果ｐ，则非ｑ）这不是真的”一样。

　　　　Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系可以表达于这个公式中：Ｋｐｑ＝ＮＣｐＮｑ，其中记号＝相当于文字“意思犹如……一样”。

　　　　这种定义需要一个特殊的推论规则，它允许我们用被定义项替换定义项，并且反之亦然。

　　　　或者我们可以用等值来表示Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系，但因为等值不是我们系统的原始词项，所以用两个彼此可以替换的蕴涵式来表示这个联系：

　　　　ＣＫｐｑＮＣｐＮｑ与ＣＮＣｐＮｑＫｐｑ。

　　　　在这个情况下就不需要特殊的定义规则。

　　　　我将使用第一种定

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　　　　２３。演绎理论A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７１

　　　　义。

　　　　现在让我们用一个例子来表明借助于推论规则如何能从公理引出新的断定命题。

　　　　我将从公理Ｔ１－Ｔ３推导出同一律Ｃｐ。

　　　　这一推导要求两次使用代入规则以及两次使用分离规则；它是这样进行的：

　　　　Ｔ１。

　　　　ｑＣＮｐｑ×ＣＴ３－Ｔ４＇

　　　　Ｔ４。

　　　　ＣＮｐｑｒＣｐｒ

　　　　Ｔ４。

　　　　ｑｐ，ｒｐ×ＣＴ２－Ｔ５＇　　　　　　　　　　　＇

　　　　Ｔ５Ｃｐ。

　　　　第一行叫做“导出行”

　　　　（ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎａｌ

　　　　ｌｉｎｅ）。

　　　　它包含以×号相互隔开的两个部分。

　　　　第一部分，Ｔ１。

　　　　ｑＣＮｐｑ，意思是在Ｔ１中＇ＣＮｐｑ应当代替ｑ。

　　　　由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。

　　　　它将是以下形式：（１）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮｐｑｒＣｐｒ第二部分，ＣＴ３－Ｔ４，表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的，使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。

　　　　断定命题（１）以Ｃ开始，接着是公理Ｔ３作为它的前件，和断定命题Ｔ４

　　　　作为后件。

　　　　所以，我们可以把Ｔ４，分离出来作为一个新的断定命题。

　　　　在Ｔ５之前的导出行作同样的理解。

　　　　斜线（）

　　　　是替换的记＇号，短线（—）是分离的记号。

　　　　几乎所有以后的推导都是以相同的方式进行的。

　　　　当一个人想要从公理Ｔ１－Ｔ３推导出交换律ＣＣｐＣｑｒＣCｑＣｐｒ，或者甚至推出简化律ＣｐＣｑｐ，那么，他在进行这样的证明时，必须非常熟练。

　　　　因此，我将说明一个容易的方法来验证我们系统中的表达式而不用从公理来推导它们。

　　　　这个方法

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　　　　８１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　是美国逻辑学家查尔士Ｓ皮尔士在１８５年左右发明的。

　　　　它W基于所谓二值原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

　　　　ｏｆ

　　　　ｂｉｖａｌｅｎｃｅ）

　　　　，这就是把每一个命题看作或是真的或是假的，也就是说每一个命题具有两个可能的真值中的一个也仅仅一个：真或假。

　　　　这个原则一定不要与排中律相混淆，根据排中律，两个矛盾命题中的一个必定是真的。

　　　　二值原则曾被斯多亚派，特别是克里西普斯当作逻辑的基础来陈述①。

　　　　所有演绎理论的函项都是真值函项，亦即，它们的真假仅仅依靠它们的变元的真假。

　　　　让我们用０表示常假命题，用１表示常真命题。

　　　　我们可以用以下方式定义否定：

　　　　Ｎ０＝１与Ｎ１＝０这个意思是说：假命题的否定与真命题的意思是一样的（或简言之，是真的）

　　　　，而真命题的否定是假的。

　　　　对于蕴涵式我们有以下四条定义：

　　　　Ｃ０＝１，Ｃ０１＝１，Ｃ１０＝０，Ｃ１＝１。

　　　　这个意思是：一个蕴涵式仅当其前件真而后件假时，它才是假的；在所有其它情况下都是真的。

　　　　这是蕴涵式的最古老的定义，曾经由麦加拉的菲罗陈述并为斯多亚派采用②。

　　　　对于合取

　　　　①西塞罗，《学院研究前篇》ｉ。

　　　　９５，“辩论术的基础乃是所有的陈述（他们称之为α‘ιDωμα）或者是真的，或者是假的”

　　　　；《论命运》２１“这样，克里西普斯集中全力于这个论证，即所有α‘ιDωμα或者是真的或者是假的”。

　　　　在斯多亚派的术语中，α‘ιDωμα的意思是“命题”而不是“公理”。

　　　　②塞克斯都恩披里可，《反数学家》ｖｉ。

　　　　１３，“菲罗说蕴涵式成为真的，当W其并非前件真而后件假时，所以蕴涵式本身在三种情况下是真的，而在一种情况下是假的。”

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　　　　２４。量　　词A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９１

　　　　式我们有四个明显的等式：

　　　　Ｋ０＝０，Ｋ０１＝０，Ｋ１０＝０，Ｋ１＝１。

　　　　一个合取式只有当它的变元都真时才是真的；在所有其它情况下它都是假的。

　　　　现在，如果我们要验证演绎理论的一个有意义的表达式，它包含函子Ｃ，Ｎ和Ｋ的全部或者其中的某些，我们就要用符号０与１的所有可能的排列去代替在这个表达式中出现的各个变项，并将这样得到的公式根据上面给出的等式加以推演。

　　　　如果在推演之后所有的公式最后都得出１，那么这个表达式就是真的或者是一个断定命题；如果其中之任一公式最后得出０，这个表达式就是假的。

　　　　让我们以易位律ＣＣｐｑＣＮｑＮｐ作为第一类的例子；我们得到：对于ｐ０，ｑ０：Ｃ０ＣＮ０Ｎ０＝Ｃ１Ｃ１＝Ｃ１＝１，＇对于ｐ０，ｑ１：Ｃ０１ＣＮ１Ｎ０＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，＇对于ｐ１

　　　　ｑ０：Ｃ１０ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１，＇对于ｐ１

　　　　ｑ１：Ｃ１ＣＮ１Ｎ１＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１。

　　　　＇　　　　　　　　　　　＇因为对于所有的替换而言最后得出的都是１，所以易位律是我们系统的断定命题。

　　　　让我们举出表达式ＣＫｐＮｑｑ作为第二类的例子。

　　　　只要试一试一个替换就够了：

　　　　ｐ１，ｑ０：ＣＫ１Ｎ０＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

　　　　＇这个替换最后得出了０，所以表达式ＣＫｐＮｑｑ是假的。

　　　　在亚里士多德三段论系统中作为辅助前提使用的所有演绎理论的断定命题，我们都可以用同样的方法加以检查。

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　　　　０２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　２４。量词A亚里士多德没有量词的明确观念并且没有在他的著作中使用它们；因而我们不能把它们引入他的三段论系统。

　　　　但如我们所已经看到的，在他的系统中有两点，如果我们应用量词来解释的话，我们就能较好地理解它们。

　　　　全称量词与所谓“三段论的必然性”相联系，存在量词或特称量词与显示法证明相联系。

　　　　现在，我将把在第１９节述说的、用存在量词来作的证明以及在第５节提到的依赖全称量词的论证翻译为符号。

　　　　我用大写的希腊字母表示量词，用Ⅱ表示全称量词，而用后表示特称或存在量词。

　　　　Ⅱ可以读作“对于所有而言”

　　　　，^而可以读作“对于有些而言”或“有”

　　　　；例如ｃＫＡｃｂＡｃａ^的意思用语言说出来就是：“有一个ｃ使得所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”

　　　　，或者更简短地说：“对于有些ｃ而言，所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”。

　　　　每一个带量词的表达式，例如ｃＫＡｃｂＡｃａ，^包含三个部分：第一部分，在我们的例子中就是，总是一个^量词；第二部分，在这里就是ｃ，总是一个用前面的量词约束着的变项；第三部分，在这里就是ＫＡｃｂＡｃａ，总是一个命题表达式，它包含着恰好被量词当作自由变项约束起来了的变项。

　　　　由于把ｃ放在ＫＡｃｂＡｃａ之前，最后这个公式中的自由^变项ｃ就变成被约束的了。

　　　　我们可以简单地说：（第一部^分）约束ｃ（第二部分）于ＫＡｃｂＡｃａ（第三部分）之中。

　　　　存在量词的规则已经在第１９节中陈述过了。

　　　　在各导出行中，我用１表示允许我们把置于一个真蕴涵式的前件之前^　X的规则，并且２表示允许我们把置于一个真蕴涵式的后件^　X

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　　　　２４。量　　词A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２１

　　　　之前的规则。

　　　　以下的推导将是易于了解的。

　　　　因为它们都是第１９节中用文字作出的推导的翻译，相应的断定命题带有相同的番号（ｒｕｎｉｎｇ

　　　　ｎｕｍｂｅｒ）

　　　　，并且用相应的小写字母作为变项以代替大写字母。

　　　　Ｉ前提换位的证明：设定为