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，也不指什么别的东西。那就是说，“《威弗雷》的作者”什么也不指。证讫。
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第八章 《数学原理》：数学方面。。。。
大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这部书的后面几部分。
其中三个是波兰人，后来（我相信）被希特勒给清算掉了。另外三个是得克萨斯州人，后来被同化得很满意。甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子：大约在《数学原理》出版十年之后，《数学纪事》发表了一篇长文，其中一些结果我们在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误，我们却避免了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他把数学归纳法引伸了。他名之为“超限归纳法”。我对他说，这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期，他对我说，他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门，从数学的观点，不从哲学的观点，把《数学原理》我认为重要的几方面
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《数学原理》：数学方面５８
解释一下。
我先从一个问题着手，这是一个哲学上的问题，也同样是一个数学上的问题，就是，关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里，我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性，和这些相对立的是由本体——和——属性而成的事实和由主辞——和——宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样，布尔的数理逻辑是讨论类的包含的，而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑，但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系，我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西，这种东西结果变得极为有用。
在那个时候，我几乎是只把关系认做是内包。我想到了。。
这样一些句子：“ｘ在ｙ之前”
、“ｘ大于ｙ”
、“ｘ在ｙ之北”。
那时我觉得（我现在确是仍然觉得）
，虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶，可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然，类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类，其中的项我们无法列举的时候，上面所讲的道理是显而易见的。
就无限的类来说，无法列举是很明显的，可是大多数有限的类也正是如此。举例来说，谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢？虽然如此，我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来（或真或伪）
，我们
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６８第 八 章
之所以能够如此，乃是由于使这个类所以能够成立的内包。
以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序，我们有很多事情可说，因为我们懂得“在先”这个字的意思，虽然ｘ在ｙ之先这样的ｘ，ｙ一切的偶我们是无法列举的。
但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论：这些偶必须是有序的偶，那就是说，我们必须能够分别。。。ｘ，ｙ这个偶和ｙ，ｘ这个偶。
若是不藉内包上的某种关系，这是做不到的。
只要我们只限于类和宾辞，就不可能解释次序，或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。
所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示，这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显著的。这些概念中最重要的是：（１）由一些项而成的类，这些项对于一个既定的ｙ项有Ｒ关系；（２）由一些项而成的类，对于这些项一个既定的ｘ项有Ｒ关系；（３）关系的“范围”
，这个范围是由一个类而成，这个类中所有的项对于某种什么东西有Ｒ关系；（４）
Ｒ的“相反范围”
，这个范围是由一个类而成，某种什么东西对于这个类中所有的项有Ｒ关系；（５）Ｒ的“领域”
，这个领域是由上面所说的那种“范围”和“相反范围”
而成；（６）一种Ｒ关系的“反面”
，这是ｘ和ｙ之间有Ｒ关系的时候，ｙ和ｘ之间所具的一种关系；（７）
Ｒ和Ｓ两种关系的“关系产物”
，这是有一个ｙ中项的时候，ｘ和ｚ之间的一种关系，ｘ对于ｙ有Ｒ关系，ｙ对于ｚ有Ｓ关系；（８）复数，其界说如下：有既定的某ａ类，我们形成一个由若干项而成的类，所有这些项对于ａ的某项有Ｒ关系。我们可以看一看人与人
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《数学原理》：数学方面７８
的关系来作以上各种概念的例子。举例来说，假定Ｒ是父母与子女的关系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；（３）是所有那些有子女的人的类；（４）是所有那些有父母的人的类，那就是说，除了亚当和夏娃以外，每人都包括在内；（５）
“父母”关系的领域包括每个人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）
“的父母”这种关系的反面是“的子女”
那么一种关系；（７）“祖父母”是父母与父母的关系产物，“弟兄或姊妹”是“子女”与“父母”的关系产物，“堂兄弟或弟兄或姊妹”是孙和祖父母的关系产物，其余可以类推；（８）
“伊通学院学生的父母”是按这一个意义来说的复数。
不同种类的关系有不同种类的用处。我们可以先讲一种关系，这种关系产生一种东西，我名之曰“叙述函项”。这是最多只有一项对于既定的一项所能有的一种关系。这种关系产生用单数的“ｔｈｅ”这个字的短语，如“ｔｈｅ
ｆａｔｈｅｒ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的父亲）
，“ｔｈｅ
ｄｏｕ－ｂｌｅ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的两倍）
，“ｔｈｅ
ｓｉｎｅ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的正弦）
，以及数学中所有的普通函数。
这种函项只能由我名之曰“一对多”的那种关系产生出来，也就是最多一项对于任何别的一项所能有的那种关系。举例来说，如果你正在谈一个信基督教的国家，你可以说“ｘ的妻”
，但是如果用于一个一夫多妻制的国家，这一个短语的意思就不明确了。
在数学里你可以说“ｘ的平方”
，但是不能说“ｘ的平方根”
，因为ｘ有两个平方根。前面所列的表里的“范围”
、“相反范围”和“领域”都产生叙述函项。
第二种极其重要的关系是在两个类之间建立一种相互关系的那种关系。这种关系我名之曰“一对一”的关系。这是
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８８第 八 章
这样一种关系，在这种关系中，不仅最多只有一个对于一个既定的ｙ有Ｒ关系的ｘ，而且最多也只有一个ｙ，对于这个ｙ一个既定的ｘ有Ｒ关系。
举一个例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在两个类之间有这样一种相互关系存在，这两个类的项的数目就是一样的。举例来说：不用计算我们就知道妻的数目和夫的数目是一样的，人的鼻子的数目和人的数目是一样的。
有一种特殊形式的相互关系，这种关系也是极其重要的。
这种相互关系的起因是：有两个类是Ｐ和Ｑ两个关系的领域，并且在它们之间有一种相互关系，凡是两个项有Ｐ这种关系的时候，它们的相关者就有Ｑ这种关系，反之亦然。结过婚的官吏的位次和他们的妻的位次就是一个例子。如果这些妻不和贵族有关系，或者如果这些官吏不是主教，这些妻的位次就和丈夫的位次是一样的。这种产生相互关系的东西名曰“次序的相互关系产生者”
，因为不管在Ｐ领域中的各项有怎么一种次序，这种次序总保存在Ｑ领域中的它们的相关者中。
第三种重要的关系类型是产生系列的一种关系。
“系列”
是一个旧的，人人都熟悉的名辞，但我认为我是给这个辞以一个确切意义的第一个人。一个系列就是一个组，包含若干项，这些项有一个次序，这个次序来源于一种关系，这种关系具有三种性质：（ａ）这种关系一定是不对称的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，ｙ对ｘ就没有这种关系；（ｂ）
它一定是及物的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，并且ｙ对ｚ有这种关系，ｘ对ｚ就有这种关系；（ｃ）它一定是连接的，那就是说，如果ｘ和ｙ是这种关系领域中的任何不同的两项，那
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《数学原理》：数学方面９８
么，不是ｘ对于ｙ有这种关系，就是ｙ对于ｘ有这种关系。
如果一种关系具备了这三种性质，它就把它领域中的各项排列在一个系列中。
所有这些性质都很容易用人与人关系的例子来�