咽钡奖洗锔缋故Ｈ欢钗按蟮某删褪欠⑾至撕罄匆运拿置谋洗锔缋苟ɡ恚ü垂上叶ɡ恚矗褐苯侨切瘟街苯潜呶叱さ恼叫蔚拿婊偷扔谝孕北呶叱さ恼叫蔚拿婊＞菟担馐堑笔北洗锔缋乖谒旅砝锛そ趁怯梅阶┢痰兀Ｒ扑忝婊谑潜惴⒚髁舜朔ā１洗锔缋菇е对擞玫么渴熘螅醯貌荒苤宦阌谟美此闾饨馓猓谑撬宰糯邮Я煊蚶┐蟮秸苎В檬墓鄣闳ソ馐鸵幌率澜纭＞环炭嗍导岢觥胺参锝允钡墓鄣悖脑鼐褪峭蛭锏脑兀澜缡怯墒槌傻模澜缟系囊磺忻挥胁豢梢杂檬幢硎镜模旧砭褪鞘澜绲闹刃颉１洗锔缋够乖谧约旱闹芪Ы⒘艘桓銮嗄晷值芑帷Ｔ谒篮蟠笤�200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。他提出一个问题：一个等腰直角三角形如果直边是3，斜边是几？”希帕索斯发现：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”后来人们发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是……更是永远也无法精确。于是人们把这种数字称为无理数，意思是没有道理的数字。那么无理数到底是个什么东西呢？我们知道人们会说它是数轴上的一个点。复数是最大数集，复数分为实数和虚数，实数分为有理数和无理数。分数和整数统称为有理数。分数分为有限小数（如1/5）和无限循环小数（如1/3）。无理数如根号2，根号5，还有л，都是无限不循环小数。无限和有限就可以把直线表示下的实数数轴连续下去。比如找根号5，就取直角三角形，使两直角边分别为1和2，那斜边就是根号5，然后以原点为圆心，根号5为半径画弧与数轴相交，可以得到正负根号5。我们都知道数轴是由点组成的，每一个点代表一个数。点是个什么玩意？几何学上点是没有大小而只有位置，不可分割的图形。点既然没有大小，那怎么会有位置呢？那么由点组成的直线、线段还有各种几何图形是个什么玩意？亚里士多德认为：当两个互相接触的物体各自的端点成为两者的共同端点时，就会出现连续的联接。他不承认连续直线由无穷多点组成的说法。伽里略反对亚里士多德的看法，认为连续的东西可以由无限个元素组成，好比一种可以研成极细粉末的固体。莱布尼兹提出“连续性定律”，认为世界上的一切都是连续变化的。他和牛顿大体上有相同的看法，数学上的连续性是用无穷小量来定义的一个理想概念。这个无穷小量，似乎类似于伽里略的“极细粉末”。这里有一个困难：一粒粉末有没有体积？如果体积是0，加起来岂不还是0？如果体积不是0，无穷粒粉末加起来体积又怎能有限呢？可能亚里士多德已经看到了这个困难，所以坚决反对直线（或物体）由无穷多个点组成。但是，正如伽里略指出的那样，有穷个不可分的东西组成的东西，又怎能连续变化呢？我们拿个放大镜来看看数轴吧，先看无理数，我们去看л，先找到3这个点，再找到这个点，再继续下去，我们会发现这个点始终是无法确定的，无理数就象一个不停摇摆的乱动的一个不确定的点，永远无法精确，而且没有规律。而正好是这样的数把以前我们认为是由一个个孤立的点组合起来的数轴变成了一跟完整连续的直线。看起来这个答案很完美，但我们计算圆面积的时候用的公式我们会发现永远无法得到一个精确的值，因为л无法精确，我们只能取其近似值，也就是说л是相对精确的。
那么其他的数呢？我问你，离1最近的数是哪个数？ ……。数学上怎么描述这个数呢？我们会用极限这个概念，比如…。的极限等于1。如果我问你，1……。。等于多少？无穷小！极限和无穷小的概念是微积分的基础，也是物理学的数学基础，它能够计算物体在动态中的状态。比如瞬时速度：说汽车1小时行驶60公里，或说汽车的速度是60公里／小时，这是个大致的说法。因为汽车在这一段时间内时慢时快。起动时，停车时，过人行横道时，就要慢些，其它时间要快些，路面好的时候就更快些。因此，用物体走过的距离除以所用的时间，得到的是平均速度，不是物体的真正速度。那么，我们测量一下物体在几秒钟之内走的距离，用这几秒的时间来除，得到的速度总该是物体的真正速度了吧？还不行。这是这几秒之内的平均速度。子弹从射出枪口到击中靶心，只有几分之一秒的时间，这么短的时间之内，速度就有很大变化，出枪口时比击中靶心时就明显地快些。我们可以把时间间隔再取得小一点，看看物体在秒，秒内走了多远，以了解物体的真实速度。但无论怎么小的时间间隔，总不是一瞬间，不是一个时刻，而是两个时刻之间的一段时间。求出来的总是这一段时间内的平均速度。而我们希望知道的真正速度，是物体在某一时刻的速度，是所谓瞬时速度．为了解决这个问题，牛顿和莱布尼兹发明了微积分并把它运用到物理学上，为了求运动着的物体在某一时刻t0的瞬时速度，先要知道从数学上看什么叫瞬时速度。因此，牛顿面临的是两个任务：第一，定义出数学上的瞬时速度的概念；第二，给出具体计算瞬时速度的方法。
如果眼睛只盯着t0；这一个时刻，那是毫无法子可想的。因为时间固定了，物体的位置也固定了。想知道速度，得让物体动一动。也就要让时间变一变。让时间从t0变到t1，这段时间记作⊿t＝t1一t0，而这段时间物体走过的距离记作⊿s。比值⊿s／⊿t，当然是在t0到t1这段时间内的平均速度。牛顿合理地设想：⊿t越小，这个平均速度就应当越接近物体在时刻t0时的瞬时速度。当⊿t越来越小，当然⊿s也越来越小的时候，最后成为无穷小（微分）、就要成为0而还不是0的时候，比值⊿s／⊿t作为两个无穷小（微分）之比，就是所要的瞬时速度。
这里就存在一个问题，什么是要成为0而还不是0的时候？牛顿自己也说不清楚。19世纪，康托、戴金德和柯西证明了：瞬时速度等于平均速度在⊿t趋向于0的时候的极限。柯西建立了一套严格的语言来说明什么叫做变量的极限。粗略而直观地说，如果变量到后来可以充分接近某个常量，就说这个常量是变量的极限，而变量的变化范围可以是全体实数。但这里还是有问题的，无穷小和极限是精确的吗？……这个数字并不是精确的，说它等于1也不是精确的。如果…。=1；那么也可以等于1，那就乱套了。所以数字也是相对精确的。那么1呢？精确吗？
我们先去看一下几何再回过头来解释这个问题，欧几里德——约当公元前300年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》直到现在还是中学教科书中的主要内容，也是毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，也是西方数学和哲学的精髓。欧几里德的《原本》，是一个精致地借助演绎推理展开的系统。它从定义、公设、公理出发，一步一步地推证出了大量的，丰富多采的几何定理。他尽力对每一个几何术语加以定义。
定义是：（按《原本》编号）
（1）点是没有部分的那种东西，
（2）线是没有宽度的长度；
（4）直线是同其上各点看齐的线；
（14）图形是被一些边界所包含的那种东西；
他除了定义之外又选择了一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。他把这些基本命题叫公理或公设。公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公设则是专门为了几何对象而提出的。他有五条公理和五条公设。这些公设是
（1）从一点到另一点可作一条直线；
（2）直线可以无限延长；
（3）已知一点和一距离，可以该点为中心，作一圆；
（4）所有的直角彼此相等，
（5）若一直线与其它两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后必相交于该侧。
但是，一个更基本的问题出现了。怎么知道欧几里德的公设是真的呢？中学的老师告诉我们：公理就是那些不用证明的道理。两千年中，哲学家们几乎一致认为，欧几里德的公理就是真理。认为这些公设是可以确定地明晰地知道的东西，是绝对普遍而严格的真理。而且，多数哲学家认为这些公设既不是来自经验，也不是来自逻辑分析，而是来自人类理性的先天洞察能力。确实，柏拉图早就宣称；我们用理性的眼睛看到“形式”的永恒王国；康德认为，心智认知几何学时是在把握它自己的感觉观能的先天结构。就连一些唯物主义的哲学家，在涉及几何学时，也不否认欧几里德几何的真理性。19世纪，数学家们发现了另外一种几何学——非欧几何。而这些几何是建立在否定几里德几何公理的基础上的。在罗氏非欧几何之中，过直线外一点可作无穷多条平行线，三角形内角和小于两直角，相似三角形必全等，圆周率大于л ，有许多不符合人们通常看法的结论。随后，黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于л。现在我们面前摆出了这样的问题：三种几何学在逻辑上都能自圆其说；那么，哪一种是真的呢？对纯数学家来说，这个问题好解决；三种都是真的。这就怪了，怎么可能�